Matura 2021 z matematyki. Wymagania programowe

LICZBY RZECZYWISTE 

Poziom podstawowy:

1) zdający przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg);
2) zdający oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych (wymiernych);
3) zdający posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach;
4) zdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych;
5) zdający wykorzystuje podstawowe własności potęg;
6) zdający wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym;
7) zdający posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;
8) wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok).

Poziom rozszerzony:

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną, zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane za pomocą równań i nierówności typu: |? − ?| = ?, |? − ?| < ?, |? − ?| ≥ ?;
2) stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE:

Poziom podstawowy:

1) zdający używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b)² oraz a² – b²

Poziom rozszerzony:

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b)³ oraz a ³± b³;
2) dzieli wielomiany przez dwumian ax + b;
3) rozkłada wielomian na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia lub wyłączając wspólny czynnik przed nawias;
4) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany;
5) wyznacza dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego z jedną zmienną, w którym w mianowniku występują tylko wyrażenia dające się łatwo sprowadzić do iloczynu wielomianów liniowych i kwadratowych;
6) dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne; rozszerza i (w łatwych przykładach) skraca wyrażenia wymierne.

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚĆI

Poziom podstawowy:

1) zdający sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności;
2) zdający wykorzystuje interpretację geometryczną układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi;
3) zdający rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą;
4) zdający rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą;
5) zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą;
6) zdający korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x(x + 1)(x – 7) = 0;
7) zdający rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych.

Poziom rozszerzony:

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) stosuje wzory Viète’a;
2) rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem;
3) rozwiązuje układy równań, prowadzące do równań kwadratowych;
4) stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x – a;
5) stosuje twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych;
6) rozwiązuje łatwe nierówności wielomianowe;
7) rozwiązuje proste nierówności wymierne;
8) rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o poziomie trudności nie wyższym, niż: ||x + 1| – 2| = 3, |x + 3|+|x – 5|>12.

FUNKCJE

Poziom podstawowy:

1) zdający określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego;
2) zdający oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu. Posługuje się poznanymi metodami rozwiązywania równań do obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość;
3) zdający odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których funkcja maleje, rośnie, ma stały znak; punkty, w których funkcja przyjmuje w podanym przedziale wartość największą lub najmniejszą);
4) zdający na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x + a), y = f(x) + a, y = –f(x), y = f(–x);
5) zdający rysuje wykres funkcji liniowej, korzystając z jej wzoru;
6) zdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie;
7) zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;
8) zdający szkicuje wykres funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru;
9) zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;
10) zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej wpostaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje);
11) zdający wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym).

Poziom rozszerzony:

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = |f(x)|, y = c·f(x), y = f(cx);
2) szkicuje wykres funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami; odczytuje własności takiej funkcji z wykresu.

CIĄGI

Poziom podstawowy:

1) zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;
2) zdający bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
3) zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
4) zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

Poziom rozszerzony:

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu 1/n, 1/n² oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów;
2) rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

TRYGONOMETRIA

Poziom podstawowy:

1) zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0° do 180°;
2) zdający oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną);
3) zdający stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi: sin²α + cos²α = 1, tgα = sinα/cosα oraz sin(90° - α) = cosα;
4) zdający, znając wartość jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta
ostrego.

Poziom rozszerzony:

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie;
2) wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyrażonej w stopniach lub radianach (przez sprowadzenie do przypadku kąta ostrego);
3) wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych;
4) posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych;
5) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów;
6) rozwiązuje równania trygonometryczne typu sin2x = ½, sin2x + cosx = 1, sinx + cosx =1.

PLANIMETRIA

Poziom podstawowy:

1) zdający stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym;
2) zdający korzysta z własności stycznej do okręgu;
3) zdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje cechy podobieństwa trójkątów;
4) zdający korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi.

Poziom rozszerzony:

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu;
2) stosuje twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa do obliczania długości odcinków i ustalania równoległości prostych;
3) rozpoznaje figury podobne; wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) ich własności;
4) znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.

GEOMETRIA NA PŁASZCZYŹNIE KARTEZJAŃSKIEJ

Poziom podstawowy:

1) zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej);
2) zdający bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych;
3) zdający wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt;
4) zdający oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych;
5) zdający wyznacza współrzędne środka odcinka;
6) zdający oblicza odległość dwóch punktów;
7) zdający znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta itp.) w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych i symetrii środkowej względem początku układu.

Poziom rozszerzony:

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) oblicza odległość punktu od prostej;
2) posługuje się równaniem okręgu (x – a)² + (y – b)² = r² oraz opisuje koła za pomocą nierówności;
3) wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu;
4) oblicza współrzędne oraz długość wektora; dodaje i odejmuje wektory oraz mnoży je przez liczbę. Interpretuje geometrycznie działania na wektorach;
5) stosuje wektory do opisu przesunięcia wykresu funkcji.

STEREOMETRIA

Poziom podstawowy:

1) zdający rozpoznaje w graniastosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi, itp.), oblicza miary tych kątów;
2) zdający rozpoznaje w graniastosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów;
3) zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości graniastosłupów.

Poziom rozszerzony:

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa płaszczyzną.

ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ. TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA

Poziom podstawowy:

1) zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania;
2) zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa.

Poziom rozszerzony:

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych;
2) oblicza prawdopodobieństwo warunkowe;
3) korzysta z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

Poziom rozszerzony:

1) zdający oblicza granice funkcji (i granice jednostronne), korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach i z własności funkcji ciągłych;
2) zdający oblicza pochodne funkcji wymiernych;
3) zdający korzysta z geometrycznej interpretacji pochodnej;
4) zdający korzysta z własności pochodnej do wyznaczenia przedziałów monotoniczności funkcji;
5) zdający znajduje ekstrema funkcji wielomianowych i wymiernych;
6) zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.